Подскажите, может ли это быть так называемая детская линька? Такое бывает у бордеров? Или это всё же связано с какими-то проблемами?
Профилактику глистов делали - не выходили. Недавно сделали 2-ю прививку (мы живем за границей, тут их делают 5). Гулять на улице разрешают только после 4-й, так что сидим пока дома.
Поведение нормальное (не считая завываний во время нахождения в клетке ).
Питание? Первую неделю по незнанию кормили кормом Пурина "Dog chow", не было ни одной шерстинки, но она начала сильно чесаться, из носика была вода, заподозрили аллергию, начали читать про корм, поняли, что в нём хорошего ничего нет, и перешли на Taste of the wild (по отзывам он вообще не вызывает аллергию). Первую неделю подмешивали по чуть-чуть к старому, и вот уже неделю на новом корме. Чешется уже не так сильно, но все же чешется. Кстати, в норме щенок все же может чесаться каждый день или нет? Неделя на новом корме - это достаточное время, чтобы говорить о его влиянии? Или нужно еще понаблюдать?
В общем, сейчас шерсть просто везде... На второй день после уборки уже собирается как тополиный пух в комнатах

Это не линька, смена на подростковую шерсть проходит обычно незаметно и чуть позже (в 4 мес). Чесаться и тем более сильно терять шерсть щенок не должен. Посмотрите еще сухость воздуха в доме\квартире. Чесаться могут от этого, вообще щенки чешутся довольно часто, любят это делать и несколько раз в день почесаться - это нормально. Постоянно, конечно, не должен чесаться.

За неделю на новом корме можно сказать только о том, как с ним справляется ЖКТ, обычно советуют наблюдать не менее месяца, даже если сначала всё хорошо.